Question

【题目】已知曲线上任意一点到直线的距离是它到点的距离的2倍.

(1) 求曲线的方程；

(2) 过点的直线与曲线交于两点.若是的中点,求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据点到直线的距离和到点的距离的倍数关系，列方程，化简即可求得动点的轨迹方程.（2）设出两点坐标，根据是中点得到两个点的坐标的关系.然后判断直线的斜率存在，设出直线方程，代入椭圆方程化简后写出韦达定理，代入两个点的坐标的关系之中化简，求得直线的斜率.

(1) 点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍，

则.

所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为.

(2) P(0, 3), 设，由题意知：，

椭圆的上下顶点坐标是经检验直线m不经过这2点，

即直线m斜率k存在。

设直线m.联立椭圆和直线方程，整理得：

所以，直线m的斜率.