Question

20．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的正射影的数量为3．

Answer 1

分析 根据|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，算出|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|及（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$的值．再设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，结合数量积公式和向量投影的定义，即可得到向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的正射影的数量值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|×cos60°=2，
由此可得（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=4+4+4=12，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$．
设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，
∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=6，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}•2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的正射影的数量为|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|cosθ=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了向量数量积的定义、向量的夹角公式和向量投影的概念等知识，属于基础题．