Question

11．若定义域在[0，1]的函数f（x）满足：
①对于任意x₁，x₂∈[0，1]，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≥f（x₂）；
②f（0）=0；
③$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}$f（x）；
④f（1-x）+f（x）=-1，
则$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{9}{2017}）$=-$\frac{17}{32}$．

Answer 1

分析 根据条件关系求出在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上的所有f（x）均等于-$\frac{1}{2}$，进行求解即可．

解答 解：∵f（1-x）+f（x）=-1，f（0）=0，
∴f（0）+f（1）=-1，即f（1）=-1，
则由③得f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=-1，
即f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≥f（x₂）；
∴当$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$时，f（$\frac{1}{3}$）≥f（x）≥f（$\frac{1}{2}$），
即-$\frac{1}{2}$≥f（x）≥-$\frac{1}{2}$，即此时f（x）=-$\frac{1}{2}$，
即在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上的所有f（x）均等于-$\frac{1}{2}$．
∴f（$\frac{9}{2017}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{27}{2017}$）=（$\frac{1}{2}$）⁴f（$\frac{729}{2017}$）=-$\frac{1}{32}$，
故$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{9}{2017}）$=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{32}$=-$\frac{17}{32}$，
故答案为：-$\frac{17}{32}$

点评 本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数进行化简，求出在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上的所有f（x）均等于-$\frac{1}{2}$是解决本题的关键．