题目内容
12．已知f（x）=（3a-1）x+b-a，x∈[0，1]，若f（x）≤1恒成立，则a+b的最大值为$\frac{5}{3}$．分析 讨论一次函数的单调性，可得f（x）的最大值，由不等式恒成立思想和不等式的性质，可得a+b的最大值．
解答 解：当3a-1≥0即a≥$\frac{1}{3}$，即有f（x）的最大值为b+2a-1，
由题意可得b+2a-1≤1，则b+a≤2-a≤2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$；
当3a-1＜0，即a＜$\frac{1}{3}$时，即有f（x）的最大值为b-a，
由题意可得b-a≤1，即b≤1+a＜$\frac{4}{3}$，则b+a＜$\frac{5}{3}$．
则b+a的最大值为$\frac{5}{3}$．
故答案为：$\frac{5}{3}$．
点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，同时考查一次函数的单调性的运用，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．
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