题目内容
【题目】如图，已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，
，
分别是
，
的中点，点
在直线
上，且
．
(Ⅰ)证明：无论
取何值，总有
；
(Ⅱ)当
取何值时，直线
与平面
所成的角
最大？并求该角取最大值时的正切值．
【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 当
时
取得最大值,此时
.
【解析】
试题(Ⅰ)由勾股定理可证得
.从而可建立如图所示空间直角坐标系.根据已知条件可得各点的坐标.从而可得各向量的坐标.根据
,可得点
的坐标.根据数量积公式证
,即证得
.(Ⅱ)根据线面垂直可得面
的一个法向量. 直线
与平面
所成的角的正弦值等于
与面的法向量所成角的余弦值的绝对值.根据配方法可求得其最值.
试题解析：证明：由
，
可得，
则 即 
、
、
两两相互垂直
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则
，可得
( Ⅰ）∵
，
∴
∴无论
取何值，
（Ⅱ）∵
（0，0，1）是平面的一个法向量
∴
=
∴当时，取得最大值，
此时
=
,
=
,
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