题目内容
【题目】如图,D是AC的中点,四边形BDEF是菱形,平面平面ABC,
,
,
.
若点M是线段BF的中点,证明:
平面AMC;
求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)连接,
. .由四边形
为菱形,可证
.由平面
平面
,可证
平面
.即可证明
平面
;
2)设线段的中点为
,连接
.易证
平面
.以
为坐标原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标,求得平面
,平面
的法向量
,
.。利用空间向量夹角公式可求得平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
试题解析:
(1)连接,
∵四边形
为菱形,且
,
∴为等边三角形.
∵为
的中点,∴
.
∵,
,又
是
的中点,
∴.
∵平面平面
,平面
平面
,
平面
,
∴平面
.
又平面
,∴
.
由,
,
,
∴平面
.
(2)设线段的中点为
,连接
.易证
平面
.以
为坐标原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.则
,
,
,
,
.
∴,
,
,
.
设平面,平面
的法向量分别为
,
.
由
.
解得.
取,∴
.
又由
解得
.
取,∴
.
∵
.
∴平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
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