题目内容

已知函数R).
(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;
(2)在(1)条件下,求函数的单调区间和极值;
(3)当,且时,证明:
(1);(2)详见解析.

试题分析:(1)欲求a的值,根据在点(1,f(1))处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.再列出一个等式,最后解方程组即可得.
(2)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,最后求出极值即可.
(3)由(2)知,当a=1时,函数f(x)=,在[1,+∞)上是单调减函数,且f(1)==1,从而证得结论..
试题解析:解:(1)函数
所以又曲线处的切线与直线平行,所以             4分;
(2)令
当x变化时,的变化情况如下表:





+
0



极大值

由表可知:的单调递增区间是,单调递减区间是
所以处取得极大值,       8分;
(3)当由于
只需证明

因为,所以上单调递增,
成立。
故当时,有          12分;
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