Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求证：A₁C⊥平面AEF；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．
试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5时，求平面AEF与平面D₁B₁BD所成的角的大小．（用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：（1）这一问中寻找垂直关系的方法是典型的三垂线定理的应用，三垂线定理是证明异面直线垂直的常用的方法，尤其在正方体、长方体中，与它们的体对角线相关联的时候，经常用到．
（2）这一问如果要作出平面AEF与平面D₁B₁BD所成的平面角的话，辅助线过多，难度系数较大．但是如果把它放到空间直角坐标系去解决，就轻松多了．依托长方体自身的好条件，分别以AB、AD、AA₁为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系．这样解的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．

解答：证明：（1）如图，因为CB⊥平面A₁B，所A₁C在平面A₁B上的射影为A₁B
由A₁B⊥AE，AE?平面A₁B，得A₁C⊥AE，
同理可证A₁C⊥AF
因为A₁C⊥AF，A₁C⊥AE
所以A₁C⊥平面AEF
解：（2）过A作BD的垂线交CD于G，
因为D₁D⊥AG，所以AG⊥平面D₁B₁BD
设AG与A₁C所成的角为α，则α即为平面AEF与平面D₁B₁BD所成的角．
由已知，

AD

AB

=

DG

AD

计算得DG=

9

4

．
如图建立直角坐标系，则得点A（0，0，0），G(

9

4

，3，0)，A1(0，0，5)，C(4，3，0)，AG={

9

4

，3，0}，A1C={4，3，-5}，
因为AG与A₁C所成的角为α
所以cosα=

AG•A1C

|AG|•|A1C|

=

12 2

25

α=arccos

12 2

25

由定理知，平面AEF与平面CEF所成角的大小为arccos

12 2

25

点评：本小题主要考查空间线面关系、三垂线定理的应用、构造空间直角坐标系，设定参数，运用向量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．