Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．
（Ⅰ） 若PA=AB=2，求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅱ）证明：BE⊥平面PAC；
（Ⅲ）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB=2，由三棱锥P-ABC的体积公式即可得到答案；
（2）由于E是CA的中点，△ABC为正三角形，可得：BE⊥AC，PA⊥底面ABC，可得到：PA⊥BE，由线面垂直的判定定理即可得BE⊥平面PAC；
（3））取CD的中点F，EF∥AD，利用直线与平面平行的判定即可．

解答：解；（1）∵PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB=2，
∴V_P-ABC=

1

3

S_△ABC×PA
=

1

3

×

3

4

×2²×2
=

2 3

3

．
（2）∵PA⊥底面ABC，BE?平面ABC，
∴PA⊥BE，
又∵△ABC为正三角形，E是CA的中点，
∴BE⊥AC，PA∩AC=A，PA、AC?平面ABC，
∴BE⊥平面ABC．
（3）取CD的中点F，EF∥AD，
又∵AD?平面PEF，EF?平面PEF，
∴AD∥平面PEF．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定与直线与平面平行的判定，着重考查直线与平面平行与垂直的判定定理及其应用，考查学生应用知识的严谨意识，属于中档题．