Question

15．已知函数f（x）=Asin（x-$\frac{π}{3}$）+B，且f（$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{π}{2}$）=7，f（π）-f（0）=2$\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用“五点作图法”作出函数y=f（x）在一个周期内的图象；
（3）讨论函数y=f（x）的性质（定义域、值域、奇偶性、最小正周期、单调性）．

Answer 1

分析 （1）根据题意，列出方程组，求出A、B的值即得f（x）的解析式；
（2）列出表格，画出函数f（x）在一个周期内的函数图象；
（3）由函数f（x）的解析式，求出它的定义域和值域，得出f（x）是非奇非偶的函数，
再求出它的最小正周期与单调区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（x-$\frac{π}{3}$）+B，f（$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{π}{2}$）=7，
∴B+[Asin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）+B]=2B+Asin$\frac{π}{6}$=7，
即2B+$\frac{1}{2}$A=7；
又∵f（π）-f（0）=2$\sqrt{3}$，
∴[Asin（π-$\frac{π}{3}$）+B]-[Asin（-$\frac{π}{3}$）+B]=2$\sqrt{3}$，
即Asin$\frac{π}{3}$+Asin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴2A×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
解得A=2，得B=3，
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+3；
（2）列表如下，

x-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$
y	3	5	3	1	3

画出函数f（x）在一个周期[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]内的函数图象，如图所示；
（3）由函数y=f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+3，得；
f（x）的定义域是R，值域是[1，5]；
f（x）的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，
∴在定义域R上f（x）是非奇非偶的函数；
f（x）的最小正周期为2π；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z，
即f（x）的单调减区间为[2kπ+$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{11π}{6}$]，k∈Z；
同理，f（x）的单调增区间为[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了五点法作图的应用问题，是中档题目．