Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M、N分别为PA、BC的中点，且PD=AD=1，
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）过M作MQ⊥AD，交AD于点Q，连结QN，由已知得平面MQN∥平面PDC，由此能证明MN∥平面PCD．
（2）连结AC，交BD于点O，由已知得AC⊥BD，AC⊥PD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面PAC⊥平面PBD．
（3）由已知得PD是三棱锥P-ABC的高，S_△ABC=

1

2

S正方形ABCD=

1

2

×1×1=

1

2

，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．

解答： （1）证明：过M作MQ⊥AD，交AD于点Q，连结QN，
由题意得MQ∥PD，QN∥CD，
∵MQ∩QN=Q，
∴平面MQN∥平面PDC，
∴MN∥平面PCD．
（2）证明：连结AC，交BD于点O，
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．
（3）解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD是三棱锥P-ABC的高，
∵PD=AD=1，
∴S_△ABC=

1

2

S正方形ABCD=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

×S△ABC×PD=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．

点评：本题考查MN∥平面PCD的证明，考查平面PAC⊥平面PBD的证明，考查三棱锥P-ABC的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．