题目内容
已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率e=
，直线y=x+4经过椭圆的左焦点F1．
（1）求该椭圆的方程；
（2）若该椭圆上有一点P满足：
•
=0，求△F1PF2的面积．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4 |
| 5 |
（1）求该椭圆的方程；
（2）若该椭圆上有一点P满足：
| PF1 |
| PF2 |
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）求出焦点的坐标，运用离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（2）运用勾股定理，结合椭圆的定义，求得|PF1|•|PF2|=18，再由三角形面积公式即可得到．
（2）运用勾股定理，结合椭圆的定义，求得|PF1|•|PF2|=18，再由三角形面积公式即可得到．
解答：
解：（1）直线y=x+4与x轴的交点的坐标为（-4，0），
则F1的坐标为（-4，0），c=4．
∵e=
=
，∴a=5，b2=a2-c2=9．
则椭圆的方程为
+
=1；
（2）由
•
=0得：
⊥
，所以PF1⊥PF2，
所以△PF1F2是直角三角形，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=64．
又∵|PF1|+|PF2|=2a=10，
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=100，
则|PF1|•|PF2|=18
故S△F1PF2=
|PF1|•|PF2|=9．
则F1的坐标为（-4，0），c=4．
∵e=
| c |
| a |
| 4 |
| 5 |
则椭圆的方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
（2）由
| PF1 |
| PF2 |
| PF1 |
| PF2 |
所以△PF1F2是直角三角形，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=64．
又∵|PF1|+|PF2|=2a=10，
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=100，
则|PF1|•|PF2|=18
故S△F1PF2=
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质：离心率，考查平面向量的数量积的性质，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系中，不等式组
，（a是常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为（ ）
|
A、3
| ||
B、-3
| ||
| C、-5 | ||
| D、1 |
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M、N分别为PA、BC的中点，且PD=AD=1，
如图，在平行四边形OABC中，E是OA的中点，F在对角线OB上，且OF=
如图在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm求△ABC的面积．已知向量
=（1，k），
=（k-1，2），若
∥
，则正实数k的值为（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、2 | B、1 |
| C、1或-2 | D、-1或2 |