Question

已知函数f(x)=a-

1

|2x-b|

是偶函数，a为实常数．
（1）求b的值；
（2）当a=1时，是否存在m，n（n＞m＞0）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由；
（3）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由已知可得，f(x)=a-

1

|2x-b|

，
且函数的定义域为D=(-∞，

b

2

)∪(

b

2

，+∞)．
又y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．
于是，b=0．
又对任意x∈D，有f（x）=f（-x），可得b=0．
因此所求实数b=0．…（3分）
（2）由（1）可知，f(x)=a-

1

2|x|

(D=(-∞，0)∪(0，+∞))．
由f(x)=a-

1

2|x|

的图象，
知：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（-∞，0）上是减函数
又n＞m＞0，
∴y=f（x）在区间[m，n]上是增函数．
∴有

1- 1 2m =m 1- 1 2n =n

，
即方程1-

1

2x

=x，2x²-2x+1=0，
∵△=4-8＜0，
∴不存在正实数m，n，满足题意．…（7分）
（3）由（1）可知，
f(x)=a-

1

2|x|

(D=(-∞，0)∪(0，+∞))．f(x)=a-

1

2|x|

的图象，
知f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（-∞，0）上是减函数
因y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m、n同号．
①当0＜m＜n时，f（x）在区间[m，n]上是增函数，
有

a- 1 2m =m a- 1 2n =n

，
即方程x=a-

1

2x

，2x²-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，
因此

2a＞0 △=4a2-8＞0

，
解得a＞

2

．…（10分）
②当m＜n＜0时，f（x）在区间[m，n]上是减函数，
有

a+ 1 2m =n a+ 1 2n =m

，
化简得（m-n）a=0，a=0
综上，实数a的取值范围a=0，或a＞

2

．…（12分）