题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,
,
,
为
中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在点
,使得
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(I)详见解析;(II);(III)
.
【解析】试题分析:
(1)利用题意证得,然后由线面平行的判断定理可得
平面
.
(2)建立空间直角坐标系,利用平面向量的法向量可得二面角的余弦值为
.
(3)探索性问题,利用空间向量的结论可得在棱上存在点
,使得
,
此时.
试题解析:
(Ⅰ)证明:设与
的交点为
,连接
.
因为为矩形,所以
为
的中点,
在中,由已知
为
中点,
所以,
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)解:取中点
,连接
.
因为是等腰三角形,
为
的中点,
所以,
又因为平面平面
,
因为平面
,
,
所以平面
.
取中点
,连接
,
由题设知四边形为矩形,
所以,
所以.
如图建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
.
,
.
设平面的法向量为
,则
即
令,则
,
,所以
.
平面的法向量为
,
设,
的夹角为
,所以
.
由图可知二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)设是棱
上一点,则存在
使得
.
因此点,
,
.
由,即
.
因为,所以在棱
上存在点
,使得
,
此时.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目