Question

【题目】已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵函数f（x）是定义域为R上的奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x）
又∵当x＞0时，f（x）=x2+2x．
若x＞0，则﹣x＜0．f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x
∴f（x）=﹣f（﹣x）=2x﹣x2 ．
∴f（x）=；
（2）当x＞0时，f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，
区间（0，+∞）在对称轴x=﹣1的右边，为增区间，
由奇函数的性质，可得f（x）在R上递增．
不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0即为
f（1+2t）＞﹣f（t﹣2）=f（2﹣t），
即有1+2t＞2﹣t，解得t＞
则t的取值范围是（，+∞）．
【解析】（1）运用奇函数的定义，可得x＜0的解析式，进而得到f（x）的解析式；
（2）求出f（x）在R上递增．不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0即为f（1+2t）＞﹣f（t﹣2）=f（2﹣t），即有1+2t＞2﹣t，解不等式即可得到所求范围．