题目内容
【题目】已知椭圆 的焦距为
,斜率为
的直线与椭圆交于
两点,若线段
的中点为
,且直线
的斜率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过左焦点斜率为
的直线
与椭圆交于点
为椭圆上一点,且满足
,问:
是否为定值?若是,求出此定值,若不是,说明理由.
【答案】(1) .
(2) 为定值
.过程见解析.
【解析】分析:(1)焦距说明,用点差法可得
=
.这样可解得
,得椭圆方程;
(2)若,这种特殊情形可直接求得
,在
时,直线
方程为
,设
,把直线方程代入椭圆方程,后可得
,然后由纺长公式计算出弦长
,同时直线
方程为
,代入椭圆方程可得
点坐标,从而计算出
,最后计算
即可.
详解:(1)由题意可知,设
,代入椭圆可得:
,两式相减并整理可得,
,即
.
又因为,
,代入上式可得,
.
又,所以
,
故椭圆的方程为.
(2)由题意可知,,当
为长轴时,
为短半轴,此时
;
否则,可设直线的方程为
,联立
,消
可得,
,
则有:,
所以
设直线方程为
,联立
,根据对称性,
不妨得,
所以.
故,
综上所述,为定值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目