题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)
【解析】
(1)求出导数后,对分类讨论,利用导数可求得函数的单调区间;
(2)分离参数后得在
上恒成立,再构造函数利用导数求出最大值即可得到答案.
(1),
由定义域为,所以
.
当时,
,由
,得
,由
,得
,
所以函数的单调递减区间为
,递增区间为
;
当时,令
,则
或
,
当时,
,
恒成立,
所以函数的递增区间为
,无减区间;
当时,
,由
,得
或
,由
,得
,
所以函数的单调递减区间为
,递增区间为
和
;
当时,
,由
,得
或
,由
,得
,
所以函数的单调递减区间为
,递增区间为
和
.
综上,当时,函数
的单调递减区间为
,递增区间为
;
当时,函数
的递增区间为
,无减区间;
当时,函数
的单调递减区间为
,递增区间为
和
;
当时,函数
的单调递减区间为
,递增区间为
和
.
(2)依题意得,在
恒成立.
①当时,不等式显然成立;
②当时,
,即
成立,
设,则
,
设,则
在
单调递减,
,
所以,当时,
,
,
单调递增;
当时,
,
,
单调递减.
所以
所以,解得
.
综上,当时,
.
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