题目内容

已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)若,证明:当时,.

(1)h(0)=0;(2)证明过程详见解析.

解析试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力,考查学生的函数思想.第一问,先得到表达式,对求导,利用“单调递增;单调递减”解不等式求函数的单调区间,利用函数的单调性确定最小值所在的位置;第二问,先将代入到所求的式子中,得到①式,再利用第一问的结论,即,即得到,通过,在上式中两边同乘得到②式,若成立则所求证的表达式成立,所以构造函数φ(t)=(1-t)k-1+kt,证明即可.
(1)h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x,h¢(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,h¢(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,h¢(x)>0,h(x)单调递增.
当x=0时,h(x)取最小值h(0)=0.       4分
(2).   ①
由(1)知,,即
,则
所以.       ②  7分
设φ(t)=(1-t)k-1+kt,t∈[0,1].
由k>1知,当t∈(0,1)时,φ¢(t)=-k(1-t)k-1+k=k[1-(1-t)k]>0,
φ(t)在[0,1]单调递增,当t∈(0,1)时,φ(t)>φ(0)=0.
因为,所以
因此不等式②成立,从而不等式①成立.      12分
考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质.

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