题目内容
已知函数,.
(1)讨论在内和在内的零点情况.
(2)设是在内的一个零点,求在上的最值.
(3)证明对恒有.[来
(1)在内有唯一零点;在内无零点.(2) 在有最大值;在的最小值.(3)详见解析.
解析试题分析:(1)首先求导确定在、内的单调性,然后根据零点判定定理确定的零点情况; (2)求导得,所以 在有最大值,又是在内的一个零点,所以在的最大值为.再由(1)的结论知在的最小值应为.由知,于是在的最小值. (3)由(2)知时,有,即
,得,再将左右两边放缩相加即得.
(1)在有唯一零点,易知在单增而在
内单减,且,故在和内都至多有一个零点.
又,
故在内有唯一零点;
再由知在内无零点.
(2)由(1)知在有最大值,
故在有最大值;
再由(1)的结论知在的最小值应为.
由知,于是在的最小值.
(3)由(2)知时,有,即
①
取,则且,将的值代入①中,可得
②
再由,得
③
相仿地,
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