题目内容

已知函数,.
(1)讨论内和在内的零点情况.
(2)设内的一个零点,求上的最值.
(3)证明对恒有.[来

(1)内有唯一零点;内无零点.(2) 有最大值;的最小值.(3)详见解析.

解析试题分析:(1)首先求导确定内的单调性,然后根据零点判定定理确定的零点情况; (2)求导得,所以 有最大值,又内的一个零点,所以的最大值为.再由(1)的结论知的最小值应为.由,于是的最小值. (3)由(2)知时,有,即
 ,得,再将左右两边放缩相加即得.
(1)有唯一零点,易知单增而在
内单减,且,故内都至多有一个零点.
,
内有唯一零点;
再由内无零点.
(2)由(1)知有最大值,
有最大值;
再由(1)的结论知的最小值应为.
,于是的最小值.
(3)由(2)知时,有,即
                      ①
,则,将的值代入①中,可得

             ②
再由,得
                ③
相仿地,

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