题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
,
两点,且以
为直径的圆过椭圆的右顶点
,求
面积的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
,
所以, ……………1分
又椭圆的离心率为,即
,所以
, ………………2分
所以,
. ………………4分
所以,椭圆
的方程为
. ………………5分
(Ⅱ)方法一:不妨设的方程
,则
的方程为
.
由得
, ………………6分
设,
,因为
,所以
, …………7分
同理可得, ………………8分
所以,
, ………………10分
, ………………12分
设,则
, ………………13分
当且仅当时取等号,所以
面积的最大值为
. ………………14分
方法二:不妨设直线的方程
.
由消去
得
, ………………6分
设,
,
则有,
. ① ………………7分
因为以为直径的圆过点
,所以
.
由,
得. ………………8分
将代入上式,
得.
将 ① 代入上式,解得或
(舍). ………………10分
所以(此时直线
经过定点
,与椭圆有两个交点),
所以
. ……………12分
设,
则.
所以当时,
取得最大值
. ……………14分
【解析】
(1)由题意可知2a+2c和e的值,所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程.
(2)以AB为直径的圆过右顶点C,实质是,然后用坐标表示出来,再通过直线l的方程与椭圆方程联立,借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数,然后利用函数的方法求最值.
(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
,∴
, 又椭圆的离心率为
,即
,所以
,
∴,
. ………… 3分∴
,椭圆
的方程为
.……4分
(Ⅱ)由直线的方程
.联立
消去
得
,………… 5分
设,
,则有
,
. ① ……… 6分
因为以为直径的圆过点
,所以
.由
,得
.…………… 7分
将代入上式,得
.
将 ① 代入上式,解得或
(舍). ……… 8分
所以,记直线
与
轴交点为
,则
点坐标为
,
所以
设,则
.
所以当时,
取得最大值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校初一年级全年级共有名学生,为了拓展学生的知识面,在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读,开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查,得到了如图所示的频率分布直方图(部分已被损毁),统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为
万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级
人中抽出
人来作进一步调查.
(1)在阅读量为万到
万字的同学中有
人的成绩优秀,在阅量为
万到
万字的同学中有
人成绩不优秀,请完成下面的
列联表,并判断在“犯错误概率不超过
”的前提下,能否认为“学生成绩优秀与阅读量有相关关系”;
阅读量为 | 阅读量为 | 合计 | |
成绩优秀的人数 | |||
成绩不优秀的人数 | |||
合计 |
(2)在抽出的同学中,1)求抽到被污染部分的同学人数;2)从阅读量在万到
万字及
万到
万字的同学中选出
人写出阅读的心得体会.求这
人中恰有
人来自阅读量是
万到
万的概率.
参考公式: ,其中
.
参考数据: