Question

【题目】已知圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°（C为圆心），过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆C相交于M，N两点．
（1）求实数m的值；
（2）若|MN|≥4，求k的取值范围；
（3）若向量 与向量 共线（O为坐标原点），求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由C：x2+y2﹣4x+2y+m=0得（x﹣2）2+（y+1）2=﹣m+5，

所以圆心C（2，﹣1），r2=5﹣m．

由题意知，△ABC为等腰直角三角形．

设A，B的中点为D，连接CD，则△ACD也为等腰直角三角形，

∴ ，∴5﹣m=8，m=﹣3．

（2）解：设直线方程为y=kx+2，

则圆心（2，﹣1）到直线y=kx+2的距离

由 ，|MN|≥4，可得 ，解得

所以k的取值范围为

（3）解：联立直线与圆的方程 ，

消去变量y得（1+k2）x2+（6k﹣4）x+5=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理得 ，

因为直线与圆C相交于不同的两点M，N，

则有△=（6k﹣4）2﹣20（1+k2）＞0，整理得4k2﹣12k﹣1＞0，

解得 或

，

∴ ， ，

若向量 与向量 共线，则 ，

2k2﹣k﹣6=0k=2或 ．

经检验k=2不满足 或 ，

所以存在实数 满足题意

【解析】（1）由题意知，△ABC为等腰直角三角形．设A，B的中点为D，连接CD，则△ACD也为等腰直角三角形，即可求实数m的值；（2）设直线方程为y=kx+2，求出圆心（2，﹣1）到直线y=kx+2的距离，由 ，|MN|≥4，可得 ，即可解得k的取值范围；（3）若向量 与向量 共线（O为坐标原点），则 ，即2k2﹣k﹣6=0，从而求k的值．