题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点为
，点
在椭圆
上，且点
关于原点对称，直线
的斜率的乘积为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线
经过点
，且与椭圆交于不同的两点
，若
，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）直线
的斜率为定值
【解析】
（1）利用斜率乘积为
，
，
可构造出方程组，求解得到
和
，从而可得椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，可得关于
的一元二次方程；利用判别式大于零可求得
的取值范围；利用韦达定理表示出
和
；根据
，可得到
；利用向量数量积坐标运算，代入韦达定理整理得到
，解方程可求得结果.
（1）由题意知：
，又，
可得：
，
，
椭圆
的方程为：
（2）设直线的方程为：
将其代入，整理可得：
则
，得：
设
，
则
，
又，且
又
，
所以
又
，
化简得：，解得：
直线的斜率为定值
【题目】某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表。该蛋糕店一天制作了这款蛋糕
个，以
（单位：个，
，
）表示当天的市场需求量，
（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润.
需求量/个 |
|
|
|
|
|
天数 | 15 | 25 | 30 | 20 | 10 |
（1）当
时，若
时获得的利润为
，
时获得的利润为
，试比较和的大小；
（2）当时，根据上表，从利润不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天.
（i）求此时利润关于市场需求量的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；
（ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为
，求随机变量的分布列及数学期望.
【题目】中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：
分数 |
|
|
|
|
|
人数 | 20 | 55 | 105 | 70 | 50 |
参加自主招生获得通过的概率 | 0.9 | 0.8 | 0.6 | 0.5 | 0.4 |
（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生 | 非优等生 | 总计 | |
学习大学先修课程 | |||
没有学习大学先修课程 | |||
总计 |
（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为
，求
.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
参考公式：
，其中
.
【题目】2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：
甲电商：
消费金额（单位：千元） | [0，1） | [1，2） | [2，3） | [3，4） | [4，5] |
频数 | 50 | 200 | 350 | 300 | 100 |
乙电商：
消费金额（单位：千元） | [0，1） | [1，2） | [2，3） | [3，4） | [4，5] |
频数 | 250 | 300 | 150 | 100 | 200 |
（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）（ⅰ）根据上述数据，估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；
（ⅱ）现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X，试求出X的期望和方差．
