题目内容
【题目】中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：
分数 |
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人数 | 20 | 55 | 105 | 70 | 50 |
参加自主招生获得通过的概率 | 0.9 | 0.8 | 0.6 | 0.5 | 0.4 |
（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生 | 非优等生 | 总计 | |
学习大学先修课程 | |||
没有学习大学先修课程 | |||
总计 |
（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为
，求
.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
参考公式：
，其中
.
【答案】（1）详见解析；（2）①0.6；②90.
【解析】
（1）直接利用已知填表并画出图形，利用独立性检验公式计算可得：
，问题得解。
（2）①直接利用已知数据计算得解，②由题可得：自主招生通过的人数
服从二项分布，利用二项分布的期望公式计算得解。
（1）列联表如下：
优等生 | 非优等生 | 总计 | |
学习大学先修课程 | 60 | 240 | 300 |
没有学习大学先修课程 | 140 | 1560 | 1700 |
总计 | 200 | 1800 | 2000 |
等高条形图如图：
通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又
，
因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系
（2）①
②设获得某高校自主招生通过的人数为，则
，
所以
