题目内容
已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O的直线与该椭圆交于P,Q两点,满足直线
的斜率依次成等比数列,
求面积的取值范围.
(1) ;(2)
.
解析试题分析:(1)先设出椭圆方程为,再根据条件离心率为
及椭圆上的点
,代入即可得到椭圆方程;(2)先设出直线
方程
及
,然后联立椭圆方程得到
及
.再由直线
的斜率依次成等比数列得到
,由
得到
.代入
中及直线
的斜率存在得到
,且
,然后由点到直线的距离公式及两点间距离公式得到
面积
.最后由基本不等式得到
,从而得到
面积的取值范围.
试题解析:(1) 由题意可设椭圆方程为,则
(其中
,
),且
,故
.
所以椭圆的方程为.
(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0.故可设直线
:
,
设,
由,消去
得
,
则,
且,
故,
因为直线的斜率依次成等比数列,
所以,即
.
又,所以
,即
.
由于直线的斜率存在,且
,得
,且
,
设为点
到直线
的距离,则
,
,
所以,
故面积的取值范围为
.
考点:1.椭圆的标准方程及几何性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系;3.点到直线的距离公式;4.基本不等式.
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