题目内容
已知点(
,
是常数),且动点
到
轴的距离比到点
的距离小
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)(i)已知点,若曲线
上存在不同两点
、
满足
,求实数
的取值范围;
(ii)当时,抛物线
上是否存在异于
、
的点
,使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线,若存在,求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)动点的轨迹
的方程为
;(2)(i)实数
的取值范围是
;
(ii)详见解析.
解析试题分析:(1)首先由题意得到动点到直线
和动点
到点
的距离相等,从而得到动点
的轨迹是以点
为焦点,以直线
为准线的抛物线,从而求出轨迹
的方程;(2)(i)先由
得到点
为线段
的中点,并设点
,从而得到
,并设直线
的方程为
,与抛物线的方程联立,结合
与韦达定理在
中消去
,从而求解参数
的取值范围;(ii)先假设点
存在,先利用(i)中的条件求出点
、
两点的坐标,并设点
的坐标为
,设圆的圆心坐标为
,利用
、
、
三点为圆
上的点,得到
及
,利用两点间的距离公式得到方程组,在方程组得到
、
与
的关系式,然后利用导数求出抛物线
在点
的切线的斜率,利用切线与圆
的半径
垂直,得到两直线斜率之间的关系,进而求出
的值,从而求出点
的坐标.
试题解析:(1);
(2)(i)设,
两点的坐标为
,且
,
∵,可得
为
的中点,即
.
显然直线与
轴不垂直,设直线
的方程为
,即
,
将代入
中,得
. 2分
∴ ∴
. 故
的取值范围为
.
(ii)当时,由(i)求得
,
的坐标分别为
假设抛物线上存在点
(
且
),使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线.设圆的圆心坐标为
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