题目内容
如图,已知椭圆的方程为
,双曲线
的两条渐近线为
、
.过椭圆
的右焦点
作直线
,使
,又
与
交于点
,设
与椭圆
的两个交点由上至下依次为
、
.
(1)若与
的夹角为
,且双曲线的焦距为
,求椭圆
的方程;
(2)求的最大值.
(1);(2)
.
解析试题分析:(1)先确定双曲线的渐近线方程,根据条件两条渐近线的夹角为,确定
与
的等量关系,再结合
的值,确定
与
的值,最终确定椭圆
的方程;(2)设点
的坐标为
,并设
得到
,利用向量的坐标运算得到
,
,再由点
在椭圆
上这一条件将点
的坐标代入椭圆方程,通过化简得到
与离心率
之间的关系式
,结合基本不等式得到
的最大值.
试题解析:(1)因为双曲线方程为,
所以双曲线的渐近线方程为.
因为两渐近线的夹角为且
,所以
.
所以,所以
.
因为,所以
,
所以,
.
所以椭圆的方程为
;
(2)因为,所以直线
与的方程为
,其中
.
因为直线的方程为
,
联立直线与
的方程解得点
.
设,则
.
因为点,设点
,则有
.
解得,
.
因为点在椭圆
上,
所以.
即.
等式两边同除以得
,
,
所以,
所以当,即
时,
取得最大值
.
故的最大值为
.
考点:1.双曲线的渐近线方程;2.椭圆的方程;3.三点共线的转化
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