题目内容
已知椭圆的离心率为,其左焦点到点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点、,则内切圆的圆面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
(1);(2)圆的面积的最大值为,直线方程.
解析试题分析:本题考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系及研究三角形内切圆面积问题.(1)由椭圆的离心率和左焦点到点的距离为,建立方程组,求出、的值,从而得出椭圆方程;(2)是探索性问题,研究是否存在过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点、,使得内切圆的圆面积最大的问题,求解分三个步骤,根据条件得出面积的关系式,将用直线的斜率的倒数表示,再通过函数知识求面积的最大值;由此求出直线的方程;将由面积关系式得到的面积的最大值代入面积关系式,即可得到圆的半径的最大值,进而求出圆的面积的最大值.
试题解析:(1)设椭圆左焦点,则,解得,,
故所求椭圆方程为.
(2)设,,令,,设的内切圆的半径为,则的周长为,,
因此若最大,则最大,
又,由题设知直线的斜率不为0,可设直线的方程为,
联立方程组消去整理得,
由根与系数的关系得,,
,
即,令,则,由此得,
令,即在上单调递增,
,则(当且仅当时,,),
这时所求内切圆的面积的最大值为,
故直线的方程为,内切圆的面积的最大值为.
考点:椭圆方程,直线与椭圆的位置关系,三角形的内切圆面积.
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