Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为 (为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；

(2)若直线与曲线的两个交点分别为，直线与轴的交点为，求的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）1.

【解析】分析：(1)消去参数t可得直线l的普通方程为x＋y－1＝0．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0．化为极坐标即ρ＝4sin θ．

(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2－3t＋1＝0，结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．

详解：(1)直线l的参数方程为(为参数)，

消去参数t，得x＋y－1＝0．

曲线C的参数方程为 (θ为参数)，

利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．

令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ．

(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．

把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，

∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．

由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．