题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
过点
,其参数方程为
(
为参数,
),以
为极点,
轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线
交于
两点,且
,求实数
的值.
【答案】(1) ,
;(2)
或
.
【解析】试题分析: (Ⅰ)根据加减相消法将曲线参数方程化为普通方程,利用
将曲线
(Ⅱ)先将直线参数方程转化为
(
为参数,
),再根据直线参数方程几何意义由
得
,最后将直线参数方程代入
,利用韦达定理得关于
的方程,解得
的值.
试题解析: (Ⅰ)曲线参数方程为
,∴其普通方程
,
由曲线的极坐标方程为
,∴
∴,即曲线
的直角坐标方程
.
(Ⅱ)设、
两点所对应参数分别为
,联解
得
要有两个不同的交点,则,即
,由韦达定理有
根据参数方程的几何意义可知,
又由可得
,即
或
∴当时,有
,符合题意.
当时,有
,符合题意.
综上所述,实数的值为
或
.
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