Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n+2}{n}$（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）写出数列{a_n}的通项公式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由已知直接求出a₂，a₃，a₄；
（2）把（1）中求得的数列的前几项变形，归纳得到数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明．

解答 解：（1）由a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n+2}{n}$，得${a}_{n+1}=\frac{（n+2）（{a}_{n}+1）}{n}$，
则a₂=6，a₃=14，a₄=25；
（2）由（1）可知，${a}_{1}=\frac{1×2}{2}，{a}_{2}=6=\frac{4×3}{2}，{a}_{3}=14=\frac{7×4}{2}$$，{a}_{4}=25=\frac{10×5}{2}$．
猜想${a}_{n}=\frac{（3n-2）（n+1）}{2}$．
下面用数学归纳法证明上式成立：
①当n=1时，$\frac{（3n-2）（n+1）}{2}=1={a}_{1}$，结论成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时，结论成立，即${a}_{k}=\frac{（3k-2）（k+1）}{2}$，
那么，当n=k+1时，${a}_{k+1}=\frac{（k+2）（{a}_{k}+1）}{k}$=$\frac{（k+2）[\frac{（3k-2）（k+1）}{2}+1]}{k}$=$\frac{（k+2）（3{k}^{2}+k）}{2k}=\frac{（3k+1）（k+2）}{2}$．
故当n=k+1时，结论成立．
综上所述，对n∈N^*，总有${a}_{n}=\frac{（3n-2）（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，是中档题．