Question

15．若函数f（x）=2cos（2x+φ）对任意实数x都有f（$\frac{π}{6}$-x）=f（$\frac{π}{6}$+x）．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求φ的最小正值；
（3）当φ取最小正值时，求f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得余弦函数的图象的对称性可得φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，求得f（x）的解析式，可得f（$\frac{π}{6}$）的值．
（2）由（1）可得φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，从而得到φ的最小正值．
（3）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，利用余弦函数的定义域和值域求得f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由f（$\frac{π}{6}$-x）=f（$\frac{π}{6}$+x），可得函数f（x）=2cos（2x+φ）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，
故有2cos（2x+φ）=±2，即 2•$\frac{π}{6}$+φ=kπ，k∈Z，即 φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
f（$\frac{π}{6}$）=2cos（$\frac{π}{3}$+kπ-$\frac{π}{3}$）=2coskπ=±2．
（2）由（1）可得φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，可得φ的最小正值为$\frac{2π}{3}$．
（3）当φ取最小正值时，f（x）=2cos（2x+$\frac{2π}{3}$）．
由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，可得2x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，故当2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{3}$时，f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）取得最大值为1；
 当2x+$\frac{2π}{3}$=π时，f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）取得最小值为-2．

点评 本题主要考查余弦函数的图象的对称性，余弦函数的周期性，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．