题目内容
17.已知O是锐角△ABC的外心,若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$(x,y∈R),则x+y的取值范围为(-∞,-1).分析 能够判断O在△ABC内部,从而有x,y<0,可设外接圆半径为1,对$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$两边平方即可得出1=x2+y2+2xycosθ,根据cosθ<1即可得出1<(x+y)2,再根据x,y<0,从而得到x+y的取值范围.
解答 解:∵O是锐角△ABC的外心;
∴O在三角形内部,不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1,则x<0,y<0;
${\overrightarrow{OC}}^{2}={x}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2xy\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$$+{y}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$,设向量$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$夹角为θ,则:
1=x2+y2+2xycosθ<x2+y2+2xy=(x+y)2;
∴x+y<-1,或x+y>1(舍去);
∴x+y的范围为(-∞,-1).
故答案为:(-∞,-1).
点评 考查三角形外心的定义,向量数量积的计算公式,注意x,y<0这个条件.
练习册系列答案
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8.为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼,用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生,得到如下2×2列联表:
则a-b-c等于( )
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | a | b | 73 |
不爱好 | c | 25 | |
总计 | 74 |
A. | 6 | B. | 7 | C. | 8 | D. | 9 |
6.如图程序运行后输出的结果是( )
A. | 3 4 5 6 | B. | 4 5 6 | C. | 5 6 | D. | 6 |