Question

15．在等差数列{a_n}中，a₁＞0，S₃=S₁₁，试求出当S_n取最大时n的值．（至少用二种方法解）

Answer 1

分析 法一：设等差数列{a_n}的公差为d，a₁＞0，S₃=S₁₁，利用前n项和公式可得：2a₁+13d=0，于是a₇+a₈=0，利用a₁＞0，可得d＜0，可得a₇＞0，a₈＜0．即可得出．
法二：由法一可得：2a₁+13d=0，$d=-\frac{2}{13}{a}_{1}$．于是S_n=$-\frac{{a}_{1}}{13}$（n-7）²+$\frac{49{a}_{1}}{13}$．利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：法一：设等差数列{a_n}的公差为d，a₁＞0，S₃=S₁₁，
∴$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}•d$=11a₁+$\frac{11×10}{2}d$，
化为2a₁+13d=0，
∴a₁+a₁₄=0，
∴a₇+a₈=0，
又a₁＞0，则d＜0，
∴a₇＞0，a₈＜0．
∴当n=7时，S_n取最大值．
法二：由法一可得：2a₁+13d=0，∴$d=-\frac{2}{13}{a}_{1}$．
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}•（-\frac{2}{13}{a}_{1}）$
=$-\frac{{a}_{1}}{13}$（n-7）²+$\frac{49{a}_{1}}{13}$．
∵a₁＞0，∴$-\frac{{a}_{1}}{13}$＜0．
∴当n=7时，S_n取得最大值$\frac{49{a}_{1}}{13}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．