Question

3．已知函数f（x）=1+$\frac{a}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$，且曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+4=0平行．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）求证：当x＞1时，$\frac{f（x）}{2{e}^{x-1}}$＞$\frac{e+1}{x{e}^{x}+1}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件，可得a=1；
（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=x-lnx，求出导数，求得最小值，即可判断f（x）的单调性；
（3）由题意可得f（x）＞$\frac{2（e+1）{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$恒成立，分别求出f（x），h（x）=$\frac{2（e+1）{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$的取值范围，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=1+$\frac{a}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$的导数为
f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-a+1+1=2-a，
切线与直线x-y+4=0平行，可得2-a=1，解得a=1；
（2）f（x）=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$的
的导数为f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
由g（x）=x-lnx的导数为1-$\frac{1}{x}$，当x＞1时，g（x）递增，
当0＜x＜1时，g（x）递减，可得g（x）≥g（1）=1，
则x-lnx＞0，即f（x）在（0，+∞）递增；
（3）证明：当x＞1时，$\frac{f（x）}{2{e}^{x-1}}$＞$\frac{e+1}{x{e}^{x}+1}$，即为：
f（x）＞$\frac{2（e+1）{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$恒成立，
由（2）可得f（x）在x＞1递增，即有f（x）＞f（1）=2；
由h（x）=$\frac{2（e+1）{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$的导数为h′（x）=-2（e+1）•$\frac{{e}^{2x-1}}{（1+x{e}^{x}）^{2}}$＜0，
即h（x）在x＞1递减，即有h（x）＜h（1）=2，
则当x＞1时，$\frac{f（x）}{2{e}^{x-1}}$＞$\frac{e+1}{x{e}^{x}+1}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．