题目内容
（本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形
为底面的棱柱被平面
所截而得，已
知
平面
，
，
，
，
为
的中点,
面
．
(Ⅰ)求
的长；
(Ⅱ)求证：面
面
；
(Ⅲ)求平面与平面
相交所成锐角二面角的余弦值．
（Ⅰ）取
的中点
，连接
则
为梯形的中位线，
又
,所以
所以
四点共面……………2分
因为面，且面
面
所以
所以四边形
为平行四边形，
所以
……………4分
（Ⅱ）由题意可知平面
面；
又
且
平面
所以
面
因为 所以
面
又
面，所以面面；……………6分
（Ⅲ）以为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
……7分
设
为
的中点，则
易证：
平面
平面的法向量为
……………8分
设平面的法向量为
，
由
得
所以
……………10分
所以
，……………11分
所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为
． ……12分
解析
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的底面是边长为1的正方形，
平面
中，
底面
， 点
，
分别在棱
上，且
平面
；
的中点时，求
与平面
（2）求该几何题的表面积。
中，底面ABCD是正方形，侧棱
底面ABCD，
，E是PC的中点，作
交PB于点F．
的体积．