题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若有两个零点,求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,判断函数g(x)的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可.
解析:
(Ⅰ).
(i)若,则当
时,
;当
时,
;
故函数在
单调递减,在
单调递增.
(ii)当时,由
,解得:
或
.
①若,即
,则
,
,
故在
单调递增.
②若,即
,则当
时,
;当
时,
;故函数在
,
单调递增,在
单调递减.
③若,即
,则当
时,
;当
时,
;故函数在
,
单调递增,在
单调递减.
(Ⅱ)(i)当时,由(Ⅰ)知,函数
在
单调递减,在
单调递增.
∵,
取实数满足
且
,则
,
所以有两个零点.
(ii)若,则
,故
只有一个零点.
(iii)若,由(I)知,
当在
单调递增,又当
时,
,故
不存在两个零点; 当
,则函数在
单调递增;在
单调递减.又当
时,
,故不存在两个零点.
综上所述, 的取值范围是
.
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