Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{2}{{e}^{x}+1}，x≥0}\\{\frac{2}{{e}^{x}+1}-\frac{3}{2}，x＜0}\end{array}\right.$  
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，判断函f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点，求实数α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）在R上为偶函数．分别讨论x=0，x＞0，x＜0，f（-x）与f（x）的关系，即可判断；
（2）由函数方程的转化思想，可得a=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$在（0，+∞）内有且只有一个实根．由y=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$在（0，+∞）内递减，求出值域，即可得到所求范围．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{2}{{e}^{x}+1}，x≥0}\\{\frac{2}{{e}^{x}+1}-\frac{3}{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
f（x）在R上为偶函数．
理由如下：当x=0时，f（0）=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
当x＞0时，-x＜0，即有f（-x）=$\frac{2}{{e}^{-x}+1}$-$\frac{3}{2}$
=$\frac{2{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{1+{e}^{x}}$=f（x）；
当x＜0时，-x＞0，即有f（-x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{{e}^{-x}+1}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{2{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{1+{e}^{x}}$=f（x），
则有x∈R时，f（-x）=f（x），
即有f（x）为偶函数；
（2）函数f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点，
即为a=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$在（0，+∞）内有且只有一个实根．
由y=$\frac{2}{{e}^{x}+1}$在（0，+∞）内递减，
且e^x＞1，则函数的值域为（0，1），
则a的范围是（0，1）．

点评 本题考查分段函数的奇偶性的判断和单调性的运用，考查函数的零点问题，注意结合函数方程的转化思想，属于中档题．