题目内容
【题目】已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的离心率为,过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点,且.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线是圆上的点处的切线,点是直线上任一点,过点作椭圆的切线,切点分别为,设切线的斜率都存在.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)直线恒过定点.
【解析(Ⅰ)由已知,设椭圆的方程为,
因为,不妨设点,代入椭圆方程得,,
又因为, 所以,,所以,,
所以的方程为.
(Ⅱ)依题设,得直线的方程为,即,
设,
由切线的斜率存在,设其方程为,
联立得,,
由相切得,
化简得,即,
因为方程只有一解,所以, 所以切线的方程为,即,同理,切线的方程为,
又因为两切线都经过点,所以, 所以直线的方程为,又, 所以直线的方程可化为,
即, 令得,
所以直线恒过定点.
【解析】
(Ⅰ)由已知条件布列关于a,b的方程,即可得到的方程;(Ⅱ)由题意得到两切线MA,MB的方程,利用M点在切线MA,MB上,得到为AB的直线方程,从而问题解决.
(Ⅰ)由已知,设椭圆的方程为,
因为,不妨设点,代入椭圆方程得,,
又因为, 所以,,所以,,
所以的方程为.
(Ⅱ)依题设,得直线的方程为,即,
设,
由切线的斜率存在,设其方程为,
联立得,,
由相切得,
化简得,即,
因为方程只有一解,所以, 所以切线的方程为,即,同理,切线的方程为,
又因为两切线都经过点,所以, 所以直线的方程为,又, 所以直线的方程可化为,
即, 令得,
所以直线恒过定点.
【题目】为调查中国及美国的高中生在“家”、“朋友聚集的地方”、“个人空间”这三个场所中感到最幸福的场所是哪个,从中国某城市的高中生中随机抽取了55人,从美国某城市高中生中随机抽取了45人进行答题。中国高中生的答题情况:选择“家”的高中生的人数占,选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占,选择“个人空间”的高中生的人数占,美国高中生的答题情况:选择“家”的高中生的人数占,选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占,选择“个人空间”的高中生的人数占。
(1)请根据以上调查结果将下面的2X2列联表补充完整,并判断能否有95%的把握认为恋家(在家里感到最幸福)与国别有关;
在家里感到最幸福 | 在其他场所感到最幸福 | 总计 | |
中国高中生 | |||
美国高中生 | |||
总计 |
(2)从被调查的不“恋家”的美国高中生中,用分层抽样的方法随机选出4人接受进一步调查,再从4人中随机选出2人到中国交流学习,求2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的概率。
| 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.8 |
附: