题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)证明:只有一个零点.
【答案】解:
(1)当a=3时,f(x)=,f ′(x)=
.
令f ′(x)=0解得x=或x=
.
当x∈(–∞,)∪(
,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(,
)时,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞,),(
,+∞)单调递增,在(
,
)单调递减.
(2)由于,所以
等价于
.
设=
,则g ′(x)=
≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a–1)=,f(3a+1)=
,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
【解析】分析:(1)将代入,求导得
,令
求得增区间,令
求得减区间;(2)令
,即
,则将问题转化为函数
只有一个零点问题,研究函数
单调性可得.
详解:(1)当a=3时,f(x)=,f ′(x)=
.
令f ′(x)=0解得x=或x=
.
当x∈(–∞,)∪(
,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(,
)时,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞,),(
,+∞)单调递增,在(
,
)单调递减.
(2)由于,所以
等价于
.
设=
,则g ′(x)=
≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a–1)=,f(3a+1)=
,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表:
记录时间 | 累计里程 (单位:公里) | 平均耗电量(单位: | 剩余续航里程 (单位:公里) |
2019年1月1日 | 4000 | 0.125 | 280 |
2019年1月2日 | 4100 | 0.126 | 146 |
(注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量=,剩余续航里程=
,下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是
A. 等于12.5B. 12.5到12.6之间
C. 等于12.6D. 大于12.6
【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取
名学生接受
考官进行面试,求:第
组至少有一名学生被考官
面试的概率.