题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明:对任意的,存在唯一的,使;
(3)设(2)中所确定的关于的函数为,证明:当时,有.
【答案】(1)减区间是,增区间是;(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
试题(1)先确定函数的定义域,然后利用导数求出函数的单调区间;(2)构造函数
,利用函数的单调性与零点存在定理来证明题中结论;(3)根据(2)中的结论得到
,利用换元法令得到,于是将问题转化为且,构造新函数,利用导数来证明在区间上恒成立即可.
试题解析:(1)函数的定义域为,
,令,得,
当变化时,,的变化情况如下表:
极小值 |
所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是;
(2)当时,.设,令,,
由(1)知在区间内单调增,
,,
故存在唯一的,使得成立;
(3),由(2)知,,且,
,
其中,,要使成立,只需且,
当时,若,则由的单调性,有,矛盾,
所以,即,从而成立.
又设,则,
所以在内是增函数,在内为减函数,
在上的最大值为
成立,
当时,成立.
练习册系列答案
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物理层2班 | 生物层3班 | 物理层1班 | 物理层4班 |
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