题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求
在点
处的切线方程；
（2）若不等式
恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：当
时，不等式
成立.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程；
（2）由
，即
，构造函数
，求导函数研究单调性，进而得
的最大值，即得
的取值范围；
（3）由（2）可知：当
时，
恒成立，令
，整理得：
，将两边不等式全相加即可得到结论.
（1）函数
的定义域为
，
，
，
∵
，∴函数在点
处的切线方程为
，
即.
（2）由
，
，则，即，
设
，
，
，
，
单调递增，
，
，单调递减，
∵不等式恒成立，且
，
∴
，∴
即可，故.
（3）由（2）可知：当时，恒成立，
令，由于
，
.
故，
，整理得：
，
变形得：
，即：
时，
，
……，
两边同时相加得：
，
所以不等式在
上恒成立.
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【题目】某饼屋进行为期
天的五周年店庆活动，现策划两项有奖促销活动，活动一：店庆期间每位顾客一次性消费满
元，可得
元代金券一张；活动二：活动期间每位顾客每天有一次机会获得一个一元或两元红包．根据前一年该店的销售情况，统计了
位顾客一次性消费的金额数（元），频数分布表如下图所示：
一次性消费金额数 |
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人数 |
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以这位顾客一次消费金额数的频率分布代替每位顾客一次消费金额数的概率分布．
（1）预计该店每天的客流量为人次，求这次店庆期间，商家每天送出代金券金额数的期望；
（2）假设顾客获得一元或两元红包的可能性相等，商家在店庆活动结束后会公布幸运数字，连续天参加返红包的顾客，如果红包金额总数与幸运数字一致，则可再获得元的“店庆幸运红包”一个．若公布的幸运数字是“
”，求店庆期间一位连续天消费的顾客获得红包金额总数的期望．
