Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值及函数的单调区间；

（2）若的极大值和极小值分别为，，证明：．

Answer 1

【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用切线与直线相互垂直，得到斜率之间的关系，计算出的值；对求导后，对导函数因式分解，然后判断符号并写出单调区间；（2）设出极大值点和极小值点，利用导函数找到韦达定理与的关系（注意范围），同时将化简至全部用表示，然后构造函数分析最值.

（1）解：由，得，

∴，

又曲线在点处的切线与直线垂直，

∴，即.

则，得，

当时，，单调递减，当时，，单调递增；

（2）设，为方程的两个实数根，则，，

由题意得，解得，

又因为函数的极大值和极小值分别为，，

则，

.

令，

则，当时，，所以是增函数，

则，即.