题目内容
【题目】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进得复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为
，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.
（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为
，求；
（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由.
【答案】（1）
；（2）若以此方案实施，不会超过预算.
【解析】
(1)先求出一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再求出一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再把它们相加即得解；（2）先求出
，再求出其最大值，比较最大值和预算的大小即得解.
（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为
，
一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为
，
所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为
.
（2）设每篇学位论文的评审费为
元，则的可能取值为900，1500.
， 
，
所以
.
令
,
.
当
时，
，
在
单调递增,
当
时，
，在
单调递减,
所以的最大值为
.
所以实施此方案，最高费用为
（万元）.
综上，若以此方案实施，不会超过预算.
