Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）讨论单调性；

（Ⅱ）当时，设函数存在两个零点，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ），分和两种情况讨论函数的单调性；

（Ⅱ）解法一：由题意可知，两式相减可得，再利用分析法转化为证明要证，只需证，再通过变形，构造，证明只需证即可，，构造函数，利用导数证明.

解法二：由题意可知，再换元令，即，两式相减得，要证，即只需证，即证，再通过变形，构造得到，，，利用导数证明.

解：（1），

当时，，在上单调递增；

当时，令得，在上单调递减，在上单调递增；

（Ⅱ）解法一：由题意知，由得，

两式相减得，因为，故，

要证，只需证，

两边同除以得，

令，故只需证即可．

令，，

令，

当时，，故在上单调递减，

故，故在上单调递增，故，故原命题得证．

【解法二】

由题意知，由得，

令，即，两式相减得，

要证，即只需证，即证，即，即，

令，只需证即可．

令，，

当时，，故在上单调递增，故，因此原不等式成立．