题目内容
【题目】已知函数,若
在
处的切线为
.
(Ⅰ)求实数,
的值;
(Ⅱ)若不等式对任意
恒成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)设其中
,证明:
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)证明见解析
【解析】
(Ⅰ)求出,
,建立
方程,求解即可得到结论;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论,将问题转化为对任意
恒成立,令
,而
是偶函数,只需
时,
恒成立,注意
,只需
在
单调递增即可,若存在
单调递减,则
不恒成立,转化为研究
在
单调性,即可求解;
(Ⅲ)由,利用(Ⅱ)的结论,可得
,
.进而得到
,将
分别用
,
代入得到
个不等式,相加即可证明结论.
(Ⅰ)由,得
;
由,得
.
根据题意可得,解得
;
(Ⅱ)解法一:由不等式对任意
恒成立知
恒成立,令
,
显然为偶函数,故当
时,
恒成立.
,令
,
,令
,
显然为
上的增函数,故
,
即在
上单调递增,
.
①当,即
时,
,
则有在
上单调递增,故
,
则在
上单调递增,故
,符合题意;
②当,即
时,因为
,
故存在,使得
,
故在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,
,
故在
上单谓递减,故
与
矛盾.
综上,.
解法二:由不等式对任意
恒成立,
知恒成立,当
时,不等式成立;
当时,
,令
,
由于为偶函数,故只需考虑
的情况即可.
当时,
.
令,
,
令,
,
当时,
,故
在
上单调递增,
故.
因此当时,
,故
在
上单调递增,
即有,故
,
所以在
上单调递增,由洛必达法则有
,故
.
(Ⅲ)解法一:
,
由(Ⅱ),当且仅当
时,等号成立;
,当且仅当
时,等号成立.故
,当且仅当
时等号成立.
因此有,
,
以上个式子相加得
.
解法二:由(Ⅱ)知,
当且仅当时等号同时成立.
故,
,
以上个式子相加得
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
P | 0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,X表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率;
(2)求X的分布列及期望.