题目内容
【题目】(本小题满分12分)设函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)如果对所有的≥0,都有
≤
,求
的最小值;
(Ⅲ)已知数列中,
,且
,若数列
的前n项和为
,求证:
.
【答案】(Ⅰ)函数在
上单调递减,在
单调递增;(Ⅱ)
;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题(Ⅰ)先对函数求导,再对
的取值范围进行讨论,即可得
的单调性;(Ⅱ)设
,先对函数
求导,再对
的取值范围进行讨论函数
的单调性,进而可得
的最小值;(Ⅲ)先由已知条件求出数列
的通项公式和前
项和,再把
转化为
,由(Ⅱ)可得
,
,令
,可得
,进而可证
,即可证
.
试题解析:(Ⅰ) 的定义域为
,
1分
当时,
,当
时,
2分
所以函数在
上单调递减,在
单调递增. 3分
(Ⅱ)设,则
因为≥0,故
5分
(ⅰ)当时,
,
,所以
在
单调递减,而
,所以对所有的
≥0,
≤0,即
≤
;
(ⅱ)当时,
,若
,则
,
单调递增,而
,所以当
时,
,即
;
(ⅲ)当时,
,
,所以
在
单调递增,而
,所以对所有的
,
,即
;
综上, 的最小值为2. 8分
(Ⅲ)由得,
,由
得,
,
所以,数列
是以
为首项,1为公差的等差数列,
故,
,
9分
由(Ⅱ)知时,
,
,
即,
. 10分
法一:令,得
,
即
因为11分
所以12分
故12分
法二:
下面用数学归纳法证明.
(1)当时,令
代入
,即得
,不等式成立
(2)假设时,不等式成立,即
则时,
令代入
,得
即
由(1)(2)可知不等式对任何
都成立.
故12分
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