Question

【题目】过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

分析可知，P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r，且，分直线AB斜率存在及不存在两种情况分别讨论得解．

如图，

先固定直线AB，设，则，其中为定值，

故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：

接下来寻求半径的表达式，

由，解得，

同理，当时有，，

综上，；

当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，即，

与椭圆方程联立可得，

设，，则由根与系数的关系有，，

，

注意到与异号，故，

设，则，，当，即，此时，故，

又，综上外接圆半径的最小值为.

故选：D．