题目内容
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)设为曲线
上位于第一,二象限的两个动点,且
,射线
交曲线
分别于
,求
面积的最小值,并求此时四边形
的面积.
【答案】(1);
(2)
面积的最小值为
;四边形的面积为
【解析】
(1)将曲线消去参数即可得到
的普通方程,将
,
代入曲线
的极坐标方程即可;
(2)由(1)得曲线的极坐标方程,设
,
,
,
利用方程可得,再利用基本不等式得
,即可得
,根据题意知
,进而可得四边形
的面积.
(1)由曲线的参数方程为
(
为参数)消去参数得
曲线的极坐标方程为
,即
,
所以,曲线的直角坐标方程
.
(2)依题意得的极坐标方程为
设,
,
,
则,
,故
,当且仅当
(即
)时取“=”,
故,即
面积的最小值为
.
此时,
故所求四边形的面积为.
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