题目内容
【题目】已知函数,函数
(
).
(1)讨论的单调性;
(2)证明:当时,
.
(3)证明:当时,
.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)证明见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)求出的定义域,导函数,对参数
、
分类讨论得到答案.
(2)设函数,求导说明函数的单调性,求出函数的最大值,即可得证.
(3)由(1)可知,可得
,即
又
即可得证.
(1)解:的定义域为
,
,
当,
时,
,则
在
上单调递增;
当,
时,令
,得
,令
,得
,则
在
上单调递减,在
上单调递增;
当,
时,
,则
在
上单调递减;
当,
时,令
,得
,令
,得
,则
在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)证明:设函数,则
.
因为,所以
,
,
则,从而
在
上单调递减,
所以,即
.
(3)证明:当时,
.
由(1)知,,所以
,
即.
当时,
,
,
则,
即,
又,
所以,
即.
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