题目内容
【题目】随着城市化建设步伐,建设特色社会主义新农村,有n个新农村集结区,
,
,…,
按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上(
),如图所示,任意两个集结区之间建设一条新道路
,两条道路的交汇处安装红绿灯(集结区
,
,
,…,
除外),在凸多边形内部任意三条道路都不共点,记安装红绿灯的个数为
.
(1)求,
;
(2)求,并用数学归纳法证明.
【答案】(1),
.(2)答案见解析
【解析】
(1)直接根据图像得到答案.
(2),验证
时成立,假设
时成立,计算
时也成立,得到答案.
(1)如图所示:,
(2),
①,
,命题成立;
假设(
)时,
则时,
,
,
,…,
,
按逆时针方向排列,依次连结
,
,……,
可增加k条道路,则
与凸四边形内部的道路交点为0;
与凸四边形内部的道路交点为
;
与凸四边形内部的道路交点为
;
依次类推
与凸四边形内部的道路交点为
;
则
.
故.

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