题目内容
【题目】随着城市化建设步伐，建设特色社会主义新农村，有n个新农村集结区
，
，
，…，
按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上(
)，如图所示，任意两个集结区之间建设一条新道路
，两条道路的交汇处安装红绿灯(集结区，，，…，除外)，在凸多边形内部任意三条道路都不共点，记安装红绿灯的个数为
.
（1）求
，
；
（2）求，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）
，
.（2）答案见解析
【解析】
（1）直接根据图像得到答案.
（2）
，验证
时成立，假设
时成立，计算
时也成立，得到答案.
（1）如图所示：，
（2），
①，
，命题成立；
假设(
)时，
则时，
，
，
，…，
，
按逆时针方向排列，依次连结
，
，……，
可增加k条道路，则与凸四边形内部的道路交点为0；
与凸四边形内部的道路交点为
；
与凸四边形内部的道路交点为
；
依次类推
与凸四边形内部的道路交点为
；
则
.
故.
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